2 Fragen zu Ganzrationale Funktionen

Um die Produktfunktion \( f \times g \) der beiden gegebenen Funktionen \( f(x) = x^2 + 3x - 4 \) und \( g(x) = 3x^3 + 4x \) zu berechnen, multipliziere die beiden Funktionen miteinander: \[ (f \times g)(x) = f(x) \cdot g(x) \] Setze die Ausdrücke für \( f(x) \) und \( g(x) \) ein: \[ (f \times g)(x) = (x^2 + 3x - 4) \cdot (3x^3 + 4x) \] Nun multipliziere die Terme aus: \[ (f \times g)(x) = (x^2 + 3x - 4) \cdot (3x^3 + 4x) \] \[ = x^2 \cdot (3x^3 + 4x) + 3x \cdot (3x^3 + 4x) - 4 \cdot (3x^3 + 4x) \] Multipliziere jeden Term einzeln aus: \[ = x^2 \cdot 3x^3 + x^2 \cdot 4x + 3x \cdot 3x^3 + 3x \cdot 4x - 4 \cdot 3x^3 - 4 \cdot 4x \] \[ = 3x^5 + 4x^3 + 9x^4 + 12x^2 - 12x^3 - 16x \] Fasse die Terme zusammen: \[ = 3x^5 + 9x^4 + (4x^3 - 12x^3) + 12x^2 - 16x \] \[ = 3x^5 + 9x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 16x \] Die Produktfunktion \( f \times g \) ist also: \[ (f \times g)(x) = 3x^5 + 9x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 16x \]

Um die Summenfunktion \( (f+g)(x) \) zu berechnen, addierst du die beiden gegebenen Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Die Funktionen sind: \[ f(x) = x^2 + 3x - 4 \] \[ g(x) = 3x^3 + 4x \] Die Summenfunktion \( (f+g)(x) \) ist: \[ (f+g)(x) = f(x) + g(x) \] Setze die Ausdrücke für \( f(x) \) und \( g(x) \) ein: \[ (f+g)(x) = (x^2 + 3x - 4) + (3x^3 + 4x) \] Nun addiere die Terme: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 3x + 4x - 4 \] Fasse die Terme zusammen: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 7x - 4 \] Die Summenfunktion ist also: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 7x - 4 \]